当前消息!几何六大模型推理(鸟头,风筝,蝴蝶,沙漏,金字塔,燕尾)推理

两个三角形中有一个角相等或互补,特点:有相等的角或共同的角或有互补的角,图①,角DAE与角BAC是共同的角,图②,角EAD与角BAC是相等的角,图③,角EAD与角BAC是互补的角,图④,因为角EAD与DAC都是90度角,所以角EAD与角BAC是互补的角。

两个三角形面积比等于对应角两夹边的乘积之比△ADE与△ABE,以AD和AB为底边,高都是EF相等,为等高三角形;△ABE与△ABC,以AE和AC为底边,高都是BC相等,为等高三角形;等高三角形面积比等于底边比,△ADE与△ABE为等高三角形,面积比等于底边比:S△ADE:S△ABE=AD:AB,把它看为①式,同理,△ABE与△ABC是等高三角形,面积比等于底边比:S△ABE:S△ABC=AE:AC,把它看为②式,


【资料图】

我们把①式乘②式,左边乘以左边等于右边乘以右边,再约分一下,就是,S△ADE:S△ABC=AD:AB × AE:AC“小”表示小△ADE面积,“大”表示大△ABC面积得出结论如下:

就是任意四边形对角线交叉的图形,形状像风筝。

它们的比例关系,把四边形ABCD分成,由上半部分三角形,和下半部分三角形组成,上半部分:以BE和ED为底边,高h1,△ABE与△ADE为等高三角形等高三角形面积比等于底边比,S1:S2=BE:ED上半部分:以BE和ED为底边,高h2,△CBE与△CDE为等高三角形,等高三角形面积比等于底边比,S3:S4=BE:ED

我们把它结合起来,BE:ED=S1:S2=S3:4,根据比例的性质,外项乘外项,等于内项乘以内项,S1×S4=S2×S3,也就是,左×右=上×下,交叉相乘积不变。

蝴蝶模型就是梯形对角线交叉的图形,或一组对边平行的风筝模型,形状像蝴蝶

同风筝模型原理,S1×S4=S2×S3,左三角形面积×右三角形面积=上三角形面积×下三角形面积,左×右=上×下,交叉相乘积不变,翅膀面积相等,

我们把图形分成四块,小、中、中、大,△ADC与ADB为等底等高,"小"部分为公共部分,所以左中=右中,左右翅膀相等,以AC边为底,△AOD与△COD为等高三角形,面积比等于底边比,所以,AO:CO=小:中,以AC边为底,△AOB与△COB为等高三角形,面积比等于底边比,所以,AO:CO=中:大,等量关系,AO:AC=小+中:中+大,

同样:以BD边为底,△AOD与△AOB为等高三角形,面积比等于底边比,所以,DO:BO=小:中,以BD边为底,△COD与△COB为等高三角形,面积比等于底边比,所以,DO:BO=中:大,等量关系,DO:BO=小+中:中+大,等高关系,△ABD面积:△CBD面积=小+中:中+大=AD:BC,

面积份额关系:假设上底AD为a,下底为BC为b,小:中=中:大=a:b,小△与大△为相似三角形,面积比等于对应边平方比,小:大=a平方:b平方,小=a平方(份),大=b平方(份),小:中=a平方:中=a:b, 得到,中=ab(份),梯形面积=a平方+b平方+2ab=(a+b)平方(份),面积(份额比),上:下:中:梯形=a平方:b平方:2ab:(a+b)平方,

蝴蝶模型去掉两边的翅膀就是沙漏模型。两条平行线段端点交叉相交,形成的上下两个三角形,样子像沙漏就上下两条线段平行,ABCD四个端点交叉相交于O点,形成上下两个三角形,

同蝴蝶模型原理,只少了两个翅膀,它们的比例关系也与蝴蝶模型一样,边与边的比例关系:AD:BC=AO:CO=DO:BO=a:b=h1:h2面积之间的比例关系:上下三角形是相似三角形,相似三角形面积比等于对应边的平方比,所以,上三角形面积:下三角形面积=a平方:b平方

金字塔模型就是两个相似三角形重叠在一起的图形,样子像金字塔。如图一大一小两个三角形,小三角形与大三角形为相似三角形,把它们重叠在一起,组成一个新的图形,样子像埃及金字塔。金字塔模型就把沙漏模型变动一下,把沙漏模型上面的三角形旋转180度原理与沙漏模型原理都差不多。

大小三角形是相似三角形,所以对应边的比例相等。边与边之间的比例关系:AD:AB=AE=AC=DE=BC=AO:AF=a:bDE//BC,平行线分割的长短边比例关系:AD:BD=AE:EC=AO:OF,大小三角形面积之间的比例关系:大小三角形是相似三角形,相似三角形面积比等于对应边的平方比,小:大=a平方:b平方,

三角形的三个顶点向对边的连线交于一点,形状像燕子的尾巴。如图三角形ABC,三个顶点向中间O点连线,左边为左燕尾,右边为右燕尾,形状像燕子尾巴。

面积与边比例关系:以AF为底边,△ABO与△OBF为等高三角形,面积比等于底边比,S1:S3=AO:OF△AOC与△OFC为等高三角形,面积比等于底边比,S2:S4=AO:OF,比例关系也等于,S1+S2:S3+S4

以BC为底边,S3与S4为等高三角形,面积比等于底边比,S3:S4=BF:FC,以AF为底边,作三角形S1与S3的高h1,作三角形S2与S4的高h2,以AO为底边,S1和S2,为等底三角形,面积比等于高之比,S1:S2=h1:h2以OF为底边,S3与S4,为等底三角形,面积比等于高之比,S3:S4=h1:h2

燕尾模型面积与边的比例关系,S1:S2=S3:S4=BF:FC,左右燕尾比=左右底边比。

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